Опис курсу

Дисципліна “Чисельні методи математичної фізики” є нормативною дисципліною з спеціальності 113 для освітньої програми Прикладна математика, яка викладається у 7 та 8-му семестрах в обсязі 5.5 кредитів (за Європейською Кредитно-Трансферною Системою ECTS).

Метою вивчення нормативної дисципліни є формування глибокого розуміння методів скінченноелементного аналізу (СЕА) як базового інструменту для розв’язання науково-технічних та інженерних задач. Програма курсу гармонійно поєднує строгу математичну теорію з її безпосередньою програмною реалізацією. Студенти опанують застосування методу скінченних елементів (МСЕ) до розв’язання лінійних стаціонарних і нестаціонарних крайових задач, а також задач на власні значення. Основний акцент зроблено на вивченні алгоритмічних особливостей МСЕ та розробці відповідного програмного забезпечення.

Теми
1. Вступ. Предмет, мета і схема курсу. Приклади застосувань і огляд інженерних проєктів. Сучасні тенденції розвитку МСЕ.
2. Додатні, додатно визначенi оператори, формули Гріна.
3. Задача про мінімум функціоналу, узагальнений розв’язок. Існування розв’яку про мінімум функціонала енергії.
4. МСЕ для одномірної задачі Штурма-Ліувілля з лінійними функціями апроксимації.
5. Головні та природні граничні умови. Задачі з неоднорідними умовами.
6. Метод Рітца. Слабкий розв’язок крайової задачі. Абстрактна варіаційна задача. Метод Гальоркіна. Теорема Лакса-Мільграма.
7. Апроксимації на скінченних елементах. Одномірні апроксимації: ермітового типу, апроксимації функціями-бульбашками. Двомірні апроксимації на трикутниках і чотирикутниках. Сирендипові чотирикутники, Ізопараметричні апроксимації.
8. Просторові апроксимації на тетраедрах та паралепіпедах.
9. Метод спектральних елементів.
10. Методи зважених залишків, як основа методів скінченних і граничних елементів.
11. Прямий метод граничних елементів.
12. Непрямий метод граничних елементів.
13. Апріорна оцінка точності. Апріорна оцінка точності за Нітше.
14. Крайові задачі для рівняння Пуассона. Схема МСЕ для рівняння Пуассона.
15. Схема МСЕ побудована на ізопараметричних апроксимаціях. МСЕ для рівняння адвекції-дифузії.
16. Методи декомпозиції області. Альтернуючий метод Шварца.
17. Задачі на власні значення.Властивості спектра оператора.
18. Енергетичні теореми в проблемі власних значень. Дискретний спектр оператора Штурма – Ліувілля.
19. Мінімаксимальний принцип Куранта. Метод Рітца в задачах на власні значення. Похибки власних значень і власних функцій. Метод Гальоріна.
20. Варіаційне формулювання параболічної задачі. Напівдискретні апроксимації Гальоркіна.
21. Бібліотеки Free Ware FEM.
22. Енергетичне рівняння. Дискретизація варіаційної задачі за часом. Стійкість напівдискретних апроксимацій за часом.
23. Схеми МСЕ для розв’язування гіперболічних початково-крайових задач.
24. Адаптивні схеми МСЕ та МГЕ.
25. Метод скінченних елементів “розривів-зв’язків”. Використання мортарних функцій.
26. Використання методів ШІ у розв’язуванні задач МСЕ.