Ньютонівські методи в нелінійних задачах (прикладна математика)

Тип: На вибір студента

Кафедра: обчислювальної математики

Навчальний план

СеместрКредитиЗвітність
94Іспит

Лекції

СеместрК-сть годинЛекторГрупа(и)
936ПМп-51м

Лабораторні

СеместрК-сть годинГрупаВикладач(і)
918ПМп-51м

Практичні

СеместрК-сть годинГрупаВикладач(і)
1

Опис курсу

 

  • Опис навчальної дисципліни

 

 

Найменування показників Галузь знань, напрям підготовки, освітньо-кваліфікаційний рівень Характеристика навчальної дисципліни
денна форма навчання заочна форма навчання
Кількість кредитів  – 2 Галузь знань

0403, Системні науки та кібернетика

(шифр, назва)

Варіативна
Модулів – 1 Напрям

8.040301, прикладна математика,

(шифр, назва)

Рік підготовки:

2011

Змістових модулів – 3 Спеціальність (професійне спрямування) 8.04030101

прикладна математика

2-й
Загальна кількість годин -144 Семестр
9-й
Лекції
Тижневих годин для денної форми навчання:

аудиторних – 3

самостійної роботи студента – 3

Освітньо-кваліфікаційний рівень:

бакалавр

2 год.
Практичні, семінарські
год. год.
Лабораторні
1 год. год.
Самостійна робота
3 год. год.
ІНДЗ:
Вид контролю: екзамен

 

  1. Мета та завдання навчальної дисципліни

    

Даний спецкурс є розширенням окремих тем курсу “Чисельні методи” та є логічним продовженням   курсу ”Ітераційні методи розв’язування нелінійних рівнянь”. Метою цього курсу є ознайомлення студентів з сучасними методами ньютонівського типу для нелінійних задач: нелінійні рівняння, нелінійні задачі найменших квадратів та задачі безумовної мінімізації. Дана дисципліна дає можливість студентам оволодіти основними методами розв’язування систем нелінійних рівнянь, нелінійних задач математичної фізики та здійснити  практичну  реалізацію деяких з них на модельних задачах.

У курсі вивчаються глобальні стратегії для квазіньютонівських ітераційних  методів, розріджені методи  типу Ньютона для задач спеціальної структури, методи з апроксимацією оберненого оператора для  розв’язування нелінійних систем рівнянь,  лінійні алгоритми для великих систем. нелінійні алгоритми, орієнтовані на спадання нев’язки та похибки, неточні методи Ньютона та глобальні методи типу Гауса-Ньютона для нелінійних задач найменших квадратів. Значна увага приділяється теоретичним аспектам методів, дослідженню збіжності методів, сучасним алгоритмам та  їх реалізації на комп’ютерах.

 

В результаті вивчення даного курсу студент повинен

знати: основні чисельні методи  розв’язування нелінійних  систем рівнянь, нелінійних задач найменших квадратів та задач безумовної мінімізації;

.вміти: застосовувати вивчені методи до конкретних задач.

 

  1. Програма навчальної дисципліни

 

Даний курс подається одним модулем

 

Змістовий модуль 1. Нелінійні оператори та поділені різниці

 

Тема 1.Оператори і рівняння. Поділені різниці оператора. Фіксовані точки оператора.

 

Змістовий модуль 2. Різницеві методи розв’язування нелінійних рівнянь

 

Тема 2. Різницеві методи розв’язування нелінійних рівнянь. Дослідження методу хорд за умов Ліпшиця. Локальна та напівлокальна збіжність методу хорд. Оцінка постеріорної похибки методу хорд.

Тема 3. Різницевий метод з квадратичною збіжністю.  Локальна та напівлокальна збіжність.

Ітераційні методи в умовах неперервності за Гьольдером поділених різниць другого порядку.

Методи хорд та Стеффенсена  при узагальнених умовах Ліпшиця для поділених різниць першого порядку. Двопараметричний метод типу хорд для розв’язування нелінійних рівнянь.

Тема 4. Ітераційний алгоритм з надквадратичною збіжністю в умовах  неперервності за Гьольдером поділених різниць. Поділені різниці і алгоритми методу для конкретних операторних рівнянь. Локальна та напівлокальна збіжність методу  з надквадратичною збіжністю . Двокроковий параметричний різницевий метод.

Неточні різницеві методи. Ньютонівські методи, в яких використовують внутрішні ітераційні процеси.

Тема 5. Узагальнений метод типу Ньютона для розв’язування нелінійних рівнянь.

Методи з апроксимацією оберненого оператора для  розв’язування нелінійних систем рівнянь. Послідовна апроксимація. Паралельна апроксимація. Асинжронна апроксимація.

Методи розв’язування нелінійних рівнянь з негладкими операторами.

Змістовий модуль 3. Різницеві методи розв’язування нелінійних задач найменших квадратів і задач безумовної мінімізації

Тема 6. Методи розв’язування нелінійних задач найменших квадратів. Локальна збіжність різницевих методів для задач найменших квадратів.

  1. Метод типу хорд для нелінійних задач найменших квадратів.
  2. Різницевий метод з надквадратичною збіжністю.
  3. Параметричні методи розв’язування  нелінійних задач найменших квадратів.
  4. Квазіньютонівські модифікації методів розв’язуваняя нелінійних задач.

Тема 7. Деякі методи безумовної мінімізації функцій багатьох змінних. Метод типу Стеффенсена для безумовної мінімізації.

  1. Квазіньютонівські методи безумовної мінімізації.
  2. Ітераційно-різницеві методи розв’язування задач безумовної мінімізації.
  3. Методи розв’язування задач зі спеціальною структурою. Розріджений скінченно-різницевий метод Ньютона. Розріджені методи січних.

Змістовий модуль 4. Лінійні алгоритми для великих лінійних систем та квазіньютонівські нелінійні алгоритми

 

Тема 8.  Лінійні алгоритми для великих лінійних систем. Алгоритми  узагальненої мінімізації нев’язки GMRES,  спряжених градієнтів PCG,  CGNE, GBIT.

Тема 9. Нелінійні алгоритми. Квазіньютонівський метод, орієнтований на похибки QNERR.  

  1. Квазіньютонівський метод  для нев’язки QNRES.

Змістовий модуль 5. Глобальні ньютонівські методи розв’язування нелінійних рівнянь і нелінійних задач найменших квадратів

Тема 10. Глобальні ньютонівські методи, базовані на спаданні похибки. Алгоритм NLEQ-RES.

  1. Глобальні ньютонівські методи, базовані на спаданні нев’язки. Алгоритм  NLEQ-RES.
  2. Неточні ньютонівські методи. Алгоритми GIAN-GNE, GINT, GBIT.
  3. Нелінійні задачі найменших квадратів. Глобальний метод Гауса-Ньютона з орієнтованим на похибку критерієм. Алгоритм NLSCON.
  4. Параметрично залежні системи: неперервні методи. Алгоритми ALCON1, ALCON2.
  5. Методи розв’язування крайових задач для звичайних диференціальних рівнянь. Алгоритми BVPSOL.

Рекомендована література

  1. Дж.Ортега, В.Рейнболдт. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. М., Мир, 1975, 558 с.
  2. Дж.Дэннис, мл., Р.Шнабель. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. М., Мир, 1988, 440 с.
  3. Дж.Трауб. Итерационные методы решения уравнений. М., Мир, 1985, 264 с.
  4. В.М. Вержбицкий. Численные методы. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. . М., Высшая школа, 2000, 266 с.
  5. А.Т. Дудикевич, С.М. Шахно. Наближені методи розв’язування  нелінійних рівнянь. Тексти лекцій, 1998, 32 с.
  6. С.М. Шахно. Ітераційні методи розв’язування нелінійної задачі про найменші квадрати. Тексти лекцій, 1998, 40 с.
  7. Уилкинсон Дж., Райнш К.. Справочник алгоритмов на языке АЛГОЛ. Линейная алгебра. – М.: Машиностроение, 1976. –329 с.
  8. C.T.Kelley. Iterative methods for linear and nonlinear equations. SIAM, Philadelphia, 1995.
  9. C.T.Kelley. Iterative methods for optimization. SIAM, Philadelphia, 1999.
  10. A.Quarteroni, R.Sacco, F.Saleri. Numerical mathematics. Springer, NY,Berlin, Heidelberg, 2000, 645p.
  11. P.Deuflhard. Newton Methods for Nonlinear Problems. Springer, 2004, 424 p.
  12. I.K. Argyros. Covergence and Applications of Newton-type iterations. Springer, 2004, 506 p.